МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА"
МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ І Н С Т Р У К Ц І Я до лабораторної роботи № 6 з курсу " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" Затверджено на засіданні кафедри "Системи автоматизованого проектування" Протокол N 14 від 03.04.1997 р. Львів 1999 МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ. Інструкція до лабораторної роботи № 6 з дисципліни " Чисельні методи в інформатиці " для студентів базового напрямку 6.0804 "Комп'ютерні науки" / Укл. Мотика І.І., Каркульовський В.І. – Львів: Видавництво ДУ "Львівська політехніка", 1999. – 12 с. Укладачі Мотика І.І., канд. техн. наук, доц. Каркульовський В.І., канд. техн. наук, доц. Відповідальний за випуск С.П.Ткаченко, канд. техн. наук, доц. Рецензенти Федасюк Д.В., канд. техн. наук, доц. Близнюк М.Б., канд. техн. наук, доц.  EMBED Equation.3 
 EMBED Equation.3 
 1. МЕТА РОБОТИ Мета роботи - ознайомлення з методами чисельного інтегрування диференціальних рівнянь та їх практичним застосуванням. 2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 2.1. Задача Коші для звичайних диференціальних рівнянь та методи її розв'язування. Задача Коші ставиться так - необхідно знайти на відрізку  EMBED Equation.2 
 розв'язок  EMBED Equation.2 
 диференціальнного рівняння:  EMBED Equation.2 
 (1) який задовільняє початкову умову:  EMBED Equation.2 
 (2) Знайти точний розв'язок задачі (1)-(2), тобто виразити його через елементарні чи спеціальні функції, або подати через квадратури від елемен-тарних чи спеціальних функцій вдається лише в небагатьох практичнних задачах. Інколи, якщо навіть і вдається знайти точний розв'язок, він має досить складний вигляд і користуватись ним практично неможливо. Тому для розв'язування задачі доводиться застосовувати наближені методи. Наближені методи можна поділити на два типи: аналітичні (які дають наближений розв'язок диференціального рівняння у вигляді аналітичного виразу) і чисельні (які дають наближений розв'язок у вигляді таблиці значень). До аналітичних наближених методів відносяться: ітераційний метод Пікара, метод, який грунтується на розкладі розв'язку задачі Коші в ряд Тейлора. Відомі й інші аналітичні методи розв'язування задачі, наприклад, асимптотичні, (1)-(2), але ми не розглядатимемо їх. Для розв'язування задачі Коші широко застосовуються чисельні методи. Вони дають можливість знаходити наближені значення (а інколи й точні) шуканого розв'язку  EMBED Equation.2 
 в деяких фіксованих точках (вузлах):  EMBED Equation.2 
 Слід пам'ятати, що чисельні методи можна застосовувати лише для конкретно поставлених задач. Причому для успішного застосування чи-сельних методів задача має бути не тільки формально стійкою, а й добре обумовленою. Інакше незначні похибки в початкових умовах чи в проміж-них обчисленннях можуть призвести до великої похибки результату. Звичайно для розв'язування задачі Коші треба брати стійкі чисельні методи (алгоритми). 2.1.1. Методи типу Ейлера. Побудуємо формули, які дають можливість знайти наближене значення шуканого розв'язку  EMBED Equation.2 
 задачі Коші в точці  EMBED Equation.2 
, якщо значення цього розв'язку відоме в попередній точці  EMBED Equation.2 
  EMBED Equation.2 
. Оскільки розв'язок в початковій точці відомий з початкових умов задачі, то за цими формулами послідовно можна обчислити значення розв'язку в точках  EMBED Equation.2 
 Проінтегруємо рівняння (1) від  EMBED Equation.2 
 до  EMBED Equation.2 
, де  EMBED Equation.2 
.  EMBED Equation.2 
 (3) де:  EMBED Equation.2 
. Для наближеного обчислення інтегралу в (2) можна використати квадратурні формули. Використавши ту чи іншу квадратурну структуру, можна дістати різні формули чисельного інтегрування задачі Коші. Якщо, наприклад, інтеграл в (3) обчислити за формулою лівих прямокутників, ...